题目内容

已知为常数,,函数且方程有等根.
(1)求的解析式及值域;
(2)设集合,若,求实数的取值范围;
(3)是否存在实数,使的定义域和值域分别为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
(1),值域为;(2);(3)存在使的定义域和值域分别为.

试题分析:(1)由方程有两个相等的实数根,则,得,又由,可求,从而求得,进而得出函数的值域;
(2)首先对集合进行分类:①;②;然后根据二次函数图像以及根的分布情况,分别确定实数的取值范围;最后将这两类情况的实数的取值范围取并集即可;
(3)由函数的最大值,确定,从而知当时,上为增函数.若满足题设条件的存在,则,从而可求的值.  
试题解析:(1)                    
又方程,即有等根,
,即,从而.                                                    
,值域为.               
(2)
①当时,,此时,解得
②当时,设,对称轴,要,只需,解得 . 
综合①②,得.
(3),则有.
又因为对称轴,所以是增函数,即
解得.
∴存在使的定义域和值域分别为.
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