Question

已知向量

m

=(sinx，

3

sinx)，

n

=(sinx，-cosx)，设函数f(x)=

m

•

n

，若函数g（x）的图象与f（x）的图象关于坐标原点对称．
（Ⅰ）求函数g（x）在区间[-

π

4

，

π

6

]上的最大值，并求出此时x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f（A）-g（A）=

3

2

，b+c=7，△ABC的面积为2

3

，求边a的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式化简函数，再利用函数g（x）的图象与f（x）的图象关于坐标原点对称，确定g（x）的解析式，从而即可得到结论；
（Ⅱ）先求A，再利用△ABC的面积，求出bc，结合余弦定理，即可求边a的长．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=(sinx，

3

sinx)，

n

=(sinx，-cosx)，
∴函数f(x)=

m

•

n

=sin2x-

3

sinxcosx=

1

2

-sin（2x+

π

6

），
∵函数g（x）的图象与f（x）的图象关于坐标原点对称，
∴g（x）=-

1

2

-sin（2x-

π

6

），
∵x∈[-

π

4

，

π

6

]，∴2x-

π

6

∈[-

2π

3

，

π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-1，

1

2

]，
∴g（x）在区间[-

π

4

，

π

6

]上的最大值为

3

2

，此时2x-

π

6

=-

π

2

，即x=-

π

6

；
（Ⅱ）∵f（A）-g（A）=

3

2

，∴

1

2

-sin（2A+

π

6

））+

1

2

+sin（2A-

π

6

）=

3

2

，∴cos2A=-

1

2

，
∵A为锐角，∴A=

π

3

∵△ABC的面积为2

3

，∴

1

2

bcsinA=2

3

，∴bc=8
∵b+c=7，
∴a2=b2+c2-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc=49-21=28
∴a=2

7

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简与三角函数的性质，考查余弦定理的运用，正确化简函数是关键．