题目内容

(2012•金华模拟)已知函数f(x)=lnx+ax2+x.
(1)若f(x)在(0,+∞)是增函数,求a的取值范围;
(2)已知a<0,对于函数f(x)图象上任意不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x2>x1,直线AB的斜率为k,记N(u,0),A1(x1,y1),B1(x2,y2),若
A1B1
A1N
(1≤λ≤2)
,求证:f′(u)<k.
分析:(1)求导函数,利用f(x)在(0,+∞)是增函数,可得f′(x)=
2ax2+x+1
x
>0
,进而分离参数,即可求得a的取值范围;
(2)先求得k=
y2-y1
x2-x1
=
lnx2-lnx1
x2-x1
+a(x2+x1)+1
,由N(u,0),
A1B1
A1N
(1≤λ≤2)
,求得u=
x2+(λ-1)x1
λ
,进而可得f′(u)-k的表达式,要证f′(u)<k,只要证
λ(x2-x1)
x2+(λ-1)x1
-ln
x2
x1
<0,利用换元,构造新函数,即可证得.
解答:(1)解:求导函数可得:f′(x)=
2ax2+x+1
x
(x>0)
∵f(x)在(0,+∞)是增函数,
f′(x)=
2ax2+x+1
x
>0

∴2ax2+x+1>0
2a>-
1
x
-(
1
x
)2

∵x>0,∴-
1
x
-(
1
x
)
2
<0

∴a≥0;
(2)证明:∵A1(x1,y1),B1(x2,y2),∴k=
y2-y1
x2-x1
=
lnx2-lnx1
x2-x1
+a(x2+x1)+1

∵N(u,0),
A1B1
A1N
(1≤λ≤2)

∴x2-x1=λ(u-x1
u=
x2+(λ-1)x1
λ

∴f′(u)=
λ
x2+(λ-1)x1
+2a×
x2+(λ-1)x1
λ
+1

∴f′(u)-k=
λ
x2+(λ-1)x1
-
lnx2-lnx1
x2-x1
+
a
λ
(2-λ)(x2-x1)

∵a<0,x2>x1,1≤λ≤2
a
λ
(2-λ)(x2-x1)
≤0
∴要证f′(u)<k,只要证
λ
x2+(λ-1)x1
-
lnx2-lnx1
x2-x1
<0
λ(x2-x1)
x2+(λ-1)x1
-ln
x2
x1
<0
x2
x1
=t
,则
λ(x2-x1)
x2+(λ-1)x1
-ln
x2
x1
=
λ(t-1)
t+(λ-1)
-lnt
,显然t>1
令g(t)=
λ(t-1)
t+(λ-1)
-lnt
,则g′(t)=
-t2+(λ2-2λ+2)t-(λ-1)2
t(t+λ-1)2

记T(t)=-t2+(λ2-2λ+2)t-(λ-1)2,对称轴为t=
(λ-1)2+1
2

∵1≤λ≤2,
1
2
(λ-1)2+1
2
≤1

∴函数在(1,+∞)上单调递减,
∵T(1)=0,∴,t>1时,T(t)<0恒成立
即-t2+(λ2-2λ+2)t-(λ-1)2<0恒成立
∵t(t+λ-1)2>0
∴g′(t)<0
∴g(t)<g(1)=0
∴f′(u)<k.
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查分离参数法的运用,考查不等式的证明,构造函数,正确求导是关键.
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