题目内容
(2012•金华模拟)已知函数f(x)=lnx+ax2+x.
(1)若f(x)在(0,+∞)是增函数,求a的取值范围;
(2)已知a<0,对于函数f(x)图象上任意不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x2>x1,直线AB的斜率为k,记N(u,0),A1(x1,y1),B1(x2,y2),若
=λ
(1≤λ≤2),求证:f′(u)<k.
(1)若f(x)在(0,+∞)是增函数,求a的取值范围;
(2)已知a<0,对于函数f(x)图象上任意不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x2>x1,直线AB的斜率为k,记N(u,0),A1(x1,y1),B1(x2,y2),若
A1B1 |
A1N |
分析:(1)求导函数,利用f(x)在(0,+∞)是增函数,可得f′(x)=
>0,进而分离参数,即可求得a的取值范围;
(2)先求得k=
=
+a(x2+x1)+1,由N(u,0),
=λ
(1≤λ≤2),求得u=
,进而可得f′(u)-k的表达式,要证f′(u)<k,只要证
-ln
<0,利用换元,构造新函数,即可证得.
2ax2+x+1 |
x |
(2)先求得k=
y2-y1 |
x2-x1 |
lnx2-lnx1 |
x2-x1 |
A1B1 |
A1N |
x2+(λ-1)x1 |
λ |
λ(x2-x1) |
x2+(λ-1)x1 |
x2 |
x1 |
解答:(1)解:求导函数可得:f′(x)=
(x>0)
∵f(x)在(0,+∞)是增函数,
∴f′(x)=
>0
∴2ax2+x+1>0
∴2a>-
-(
)2
∵x>0,∴-
-(
)2<0
∴a≥0;
(2)证明:∵A1(x1,y1),B1(x2,y2),∴k=
=
+a(x2+x1)+1
∵N(u,0),
=λ
(1≤λ≤2)
∴x2-x1=λ(u-x1)
∴u=
∴f′(u)=
+2a×
+1
∴f′(u)-k=
-
+
(2-λ)(x2-x1)
∵a<0,x2>x1,1≤λ≤2
∴
(2-λ)(x2-x1)≤0
∴要证f′(u)<k,只要证
-
<0
即
-ln
<0
设
=t,则
-ln
=
-lnt,显然t>1
令g(t)=
-lnt,则g′(t)=
记T(t)=-t2+(λ2-2λ+2)t-(λ-1)2,对称轴为t=
∵1≤λ≤2,
≤
≤1
∴函数在(1,+∞)上单调递减,
∵T(1)=0,∴,t>1时,T(t)<0恒成立
即-t2+(λ2-2λ+2)t-(λ-1)2<0恒成立
∵t(t+λ-1)2>0
∴g′(t)<0
∴g(t)<g(1)=0
∴f′(u)<k.
2ax2+x+1 |
x |
∵f(x)在(0,+∞)是增函数,
∴f′(x)=
2ax2+x+1 |
x |
∴2ax2+x+1>0
∴2a>-
1 |
x |
1 |
x |
∵x>0,∴-
1 |
x |
1 |
x |
∴a≥0;
(2)证明:∵A1(x1,y1),B1(x2,y2),∴k=
y2-y1 |
x2-x1 |
lnx2-lnx1 |
x2-x1 |
∵N(u,0),
A1B1 |
A1N |
∴x2-x1=λ(u-x1)
∴u=
x2+(λ-1)x1 |
λ |
∴f′(u)=
λ |
x2+(λ-1)x1 |
x2+(λ-1)x1 |
λ |
∴f′(u)-k=
λ |
x2+(λ-1)x1 |
lnx2-lnx1 |
x2-x1 |
a |
λ |
∵a<0,x2>x1,1≤λ≤2
∴
a |
λ |
∴要证f′(u)<k,只要证
λ |
x2+(λ-1)x1 |
lnx2-lnx1 |
x2-x1 |
即
λ(x2-x1) |
x2+(λ-1)x1 |
x2 |
x1 |
设
x2 |
x1 |
λ(x2-x1) |
x2+(λ-1)x1 |
x2 |
x1 |
λ(t-1) |
t+(λ-1) |
令g(t)=
λ(t-1) |
t+(λ-1) |
-t2+(λ2-2λ+2)t-(λ-1)2 |
t(t+λ-1)2 |
记T(t)=-t2+(λ2-2λ+2)t-(λ-1)2,对称轴为t=
(λ-1)2+1 |
2 |
∵1≤λ≤2,
1 |
2 |
(λ-1)2+1 |
2 |
∴函数在(1,+∞)上单调递减,
∵T(1)=0,∴,t>1时,T(t)<0恒成立
即-t2+(λ2-2λ+2)t-(λ-1)2<0恒成立
∵t(t+λ-1)2>0
∴g′(t)<0
∴g(t)<g(1)=0
∴f′(u)<k.
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查分离参数法的运用,考查不等式的证明,构造函数,正确求导是关键.

练习册系列答案
相关题目