Question

（2012•金华模拟）已知抛物线x²=y，O为坐标原点．
（Ⅰ）过点O作两相互垂直的弦OM，ON，设M的横坐标为m，用n表示△OMN的面积，并求△OMN面积的最小值；
（Ⅱ）过抛物线上一点A（3，9）引圆x²+（y-2）²=1的两条切线AB，AC，分别交抛物线于点B，C，连接BC，求直线BC的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由OM⊥ON，确定M，N的坐标，表示出|OM|=

m2+m4

，|ON|=

m2+1 m4

，从而可得△OMN的面积，利用基本不等式可求△OMN面积的最小值；
（Ⅱ）设B（x3，x32），C（x4，x42），直线AB的方程为y-9=k₁（x-3），AC的方程为y-9=k₂（x-3），利用直线AB\AC与圆x²+（y-2）²=1相切，建立方程，从而可得以k₁，k₂ 是方程4k²-21k+24=0的两根，再联立方程组，利用韦达定理，可得直线BC的斜率，化简可得结论．

解答：解：（Ⅰ）设M（x1，x12），N（x2，x22）．
由OM⊥ON得x1x2+x12x22=0，∴x₁x₂=-1．
因为x₁=m，所以x2=-

1

m

．
所以|OM|=

m2+m4

，|ON|=

m2+1 m4

．
所以n=S△OMN=

1

2

|OM||ON|=

1

2

×

m2+m4

×

m2+1 m4

=

1

2

2+m2+ 1 m2

=1．
所以，当m=1时，△OMN面积取得最小值1．
（Ⅱ）设B（x3，x32），C（x4，x42），直线AB的方程为y-9=k₁（x-3），AC的方程为y-9=k₂（x-3），
因为直线AB，AC与圆x²+（y-2）²=1相切，
所以

|3k1-7|

1+k12

=

|3k2-7|

1+k22

=1．
所以4k12-21k1+24=0，4k22-21k2+24=0．
所以k₁，k₂ 是方程4k²-21k+24=0的两根．
所以k1+k2=

21

4

．
由方程组

y=x2 y-9=k1(x-3)

得x²-k₁x-9+3k₁=0．
所以x₃+3=k₁，同理可得：x₄+3=k₂．
所以直线BC的斜率为

x42-x32

x4-x3

=x₄+x₃=k₁+k₂-6=-

3

4

．

点评：本题考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查直线与圆，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．