Question

在抛物线y²=4x上求一点P，使得点P到直线l：x-y+4=0的距离最短，并求最短距离．

Answer 1

分析：先设出与直线平行且与抛物线相切的直线，与抛物线联立消去x，根据判别式等于0求得k，则切线方程可得，进而与抛物线方程联立求得切点的坐标，进而根据点到直线的距离求得答案．

解答：解：设与直线l：x-y+4=0平行，且与抛物线y²=4x相切的直线为x-y+k=0．
由

x-y+k=0 y2=4x

，消x得y²-4y+4k=0．
∴△=4²-16k=0，解得k=1，即切线为x-y+1=0．
由

x-y+1=0 y2=4x

，解得点P（1，2）．
∴最短距离d=

|4-1|

12+12

=

3 2

2

．

点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生数形结合和转化与化归的思想．