Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+（a-2）lnx+1（a∈R）．

（1）若函数在点（1，f（1））处的切线平行于直线y=4x+3，求a的值；

（2）令c（x）=f（x）+（3-a）lnx+2a，讨论c（x）的单调性；

（3）a=1时，函数y=f（x）图象上的所有点都落在区域内，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a=2（2）见解析（3）t≤3

【解析】

（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a的值即可；

（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；

（3）代入a的值，整理得：，令，根据函数的单调性求出t的范围即可．

函数的定义域为（0，+∞），

（1）f′（x）=2ax+，由题意f′（1）=4，

所以2a+（a-2）=4，

解之得：a=2

（2）由已知c（x）=ax2+lnx+2a+1，

则c′（x）=2ax+=，

当a≥0，则当x∈（0，+∞）时，有c′（x）＞0，

故c（x）在x∈（0，+∞）上单调递增；

当a＜0，则当x∈（0，）时有c′（x）＞0，

当x∈（，+∞））时有c′（x）＜0，

故c（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减；

（3）a=1时，f（x）=x2-lnx+1，

即当x＞0时恒有x2-lnx+1≥tx-x2，又x∈（0，+∞），

整理得：t≤2x-+，

令g（x）=2x-+，

则g′（x）=2--=，

令h（x）=2x2+lnx-2，

由h′（x）=4x+＞0恒成立，

即h（x）=2x2+lnx-2在（0，+∞）上单调递增，

且h（1）=0，则g′（1）=0，

所以x∈（0，1）时h（x）＜0，x∈（1，+∞）时h（x）＞0，

所以x∈（0，1）时g′（x）＜0，此时y=g（x）单调递减，

x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，此时y=g（x）单调递增，

所以g（x）≥g（1）=3，

所以t≤3；