题目内容
【题目】已知函数f（x）=ax2+（a-2）lnx+1（a∈R）．
（1）若函数在点（1，f（1））处的切线平行于直线y=4x+3，求a的值；
（2）令c（x）=f（x）+（3-a）lnx+2a，讨论c（x）的单调性；
（3）a=1时，函数y=f（x）图象上的所有点都落在区域
内，求实数t的取值范围．
【答案】（1）a=2（2）见解析（3）t≤3
【解析】
（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（3）代入a的值，整理得：
，令
，根据函数的单调性求出t的范围即可．
函数的定义域为（0，+∞），
（1）f′（x）=2ax+
，由题意f′（1）=4，
所以2a+（a-2）=4，
解之得：a=2
（2）由已知c（x）=ax2+lnx+2a+1，
则c′（x）=2ax+
=
，
当a≥0，则当x∈（0，+∞）时，有c′（x）＞0，
故c（x）在x∈（0，+∞）上单调递增；
当a＜0，则当x∈（0，
）时有c′（x）＞0，
当x∈（，+∞））时有c′（x）＜0，
故c（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减；
（3）a=1时，f（x）=x2-lnx+1，
即当x＞0时恒有x2-lnx+1≥tx-x2，又x∈（0，+∞），
整理得：t≤2x-
+，
令g（x）=2x-+，
则g′（x）=2-
-
=
，
令h（x）=2x2+lnx-2，
由h′（x）=4x+＞0恒成立，
即h（x）=2x2+lnx-2在（0，+∞）上单调递增，
且h（1）=0，则g′（1）=0，
所以x∈（0，1）时h（x）＜0，x∈（1，+∞）时h（x）＞0，
所以x∈（0，1）时g′（x）＜0，此时y=g（x）单调递减，
x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，此时y=g（x）单调递增，
所以g（x）≥g（1）=3，
所以t≤3；
【题目】运动健康已成为大家越来越关心的话题，某公司开发的一个类似计步数据库的公众号．手机用户可以通过关注该公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK和点赞．现从张华的好友中随机选取40人（男、女各20人），记录他们某一天行走的步数，并将数据整理如表：
步数 性别 | 0～2000 | 2001～5000 | 5001～8000 | 8001～10000 | ＞10000 |
男 | 1 | 2 | 4 | 7 | 6 |
女 | 0 | 3 | 9 | 6 | 2 |
（1）若某人一天行走的步数超过8000步被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”，根据题意完成下列2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为男、女的“评定类型”有差异？
积极型 | 懈怠型 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
（2）在张华的这40位好友中，从该天行走的步数不超过5000步的人中随机抽取2人，设抽取的女性有X人，求X=1时的概率．
参考公式与数据：
P（K2≥k0） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
K2=
，其中n=a+b+c+d．
