Question

已知抛物线y²=8x的焦点F与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为A，且AF与x轴垂直，则椭圆的离心率为（　　）

• A．

  2

  -1
• B．

  1

  2

• C．

  2

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：根据抛物线方程为y²=8x，可得抛物线的焦点坐标为F（2，0）．再由点A是抛物线与椭圆在第一象限内的交点，AF与x轴垂直，可由抛物线方程求出A（2，4），因此椭圆以F（2，0）为右焦点，且经过点A（2，4），可得关于a、b的方程组，解之可得a=2

2

+2，最后结合椭圆的离心率公式，可得该椭圆的离心率．

解答：解：∵抛物线方程为y²=8x，
∴2p=8，

p

2

=2，可得抛物线的焦点坐标为F（2，0）
∵A是抛物线与椭圆在第一象限内的交点，AF与x轴垂直，可设A（2，y₀）
∴y₀²=2×8=16，可得y₀=4（舍负），A的坐标为（2，4）
因此椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)以F（2，0）为右焦点，且经过点A（2，4）
∴

a2-b2=2 2 22 a2 + 42 b2 =1

，解之得a=2

2

±2
因为a＞c=2，所以a=2

2

+2
∴椭圆的离心率为e=

c

a

=

2

2 2 +2

=

2

-1
故选A

点评：本题在椭圆与已知抛物线共焦点的情况下，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念与简单几何性质和抛物线的几何性质等知识点，属于中档题．