Question

下列命题是真命题的序号为：

③④⑤

①定义域为R的函数f（x），对?x∈R都有f（x-1）=f（1-x），则f（x-1）为偶函数
②定义在R上的函数y=f（x），若对?x∈R，都有f（x-5）+f（1-x）=2，则函数y=f（x）的图象关于（-4，2）中心对称
③函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则f（x+1949）是奇函数
④函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的图形一定是对称中心在图象上的中心对称图形．
⑤若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d有两不同极值点x₁，x₂，若|x₂-x₁|＞|f（x₂）-f（x₁）|，且f（x₁）=x₁，则关于x的方程3a•[f（x）]²+2b•f（x）+c=0的不同实根个数必有三个．

Answer 1

分析：①根据偶函数的定义进行判断．②利用中心对称的性质判断．③利用函数奇偶性的性质判断．④利用函数的对称性进行判断．⑤利用函数的导数和单调性之间的关系判断．

解答：解：①若f（x-1）为偶函数，则f（-x-1）=f（x-1），所以①错误．
②因为

x-5+1-x

2

=

1-5

2

=-2为常数，

f(x-5)+f(1-x)

2

=

2

2

=1为常数，所以y=f（x）的图象关于（-2，1）中心对称，所以②错误．
③若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），即f（-x-3）=-f（x+1），
所以f（-x+1）=f（-x-3），即f（x+1）=f（x-3），所以f（x+4）=f（x），所以函数的周期是4，
所以f（x+1949）=f（x+1）为奇函数，所以③正确．
④根据三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d性质可知三次函数是中心对称图形，其对称中心为(-

b

3a

，f(-

b

3b

))，
所以④正确．
⑤导数f′（x）=3ax²+2bx+c，由题意知x₁，x₂是方程3x²+2ax+b=0的两根，即x₁，x₂是函数的两个极值点，不妨设x₂＞x₁，从而关于f（x）的方程3a[f（x）]²+2b[f（x）]+c=0有两个根，
f（x₁）=x₁，x₂＞x₁=f（x₁），如下示意图象：如图有三个交点，故有3个不同实根．所以⑤正确．
故答案为：③④⑤

点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数对称性的应用，综合性较强，难度较大．