题目内容
已知
=(2sinx，-
)，
=(sinx，sin2x)，x∈[
，
]．
（1）若
⊥
，求x的值；
（2）若f(x)=
•
，求f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x值；
（3）令g(x)=f(x+
)，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．
| a |
| 3 |
| b |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（1）若
| a |
| b |
（2）若f(x)=
| a |
| b |
（3）令g(x)=f(x+
| π |
| 6 |
分析：（1）通过
⊥
，得到数量积为0，化简函数表达式，即可求x的值；
（2）通过数量积求出函数的表达式，然后化简为一个角的一个三角函数的形式，然后求f（x）的最大值及使f（x）取得最大值的x值；
（3）通过g(x)=f(x+
)，求出函数的表达式，利用奇偶性的定义直接判断函数g（x）的奇偶性，即可．
| a |
| b |
（2）通过数量积求出函数的表达式，然后化简为一个角的一个三角函数的形式，然后求f（x）的最大值及使f（x）取得最大值的x值；
（3）通过g(x)=f(x+
| π |
| 6 |
解答：解：（1）
=(2sinx，-
)，
=(sinx，sin2x)，
⊥
所以
•
=0，(2sinx，-
)•(sinx，sin2x)=0，
2sin2x-
sin2x=0即cos2x+
sin2x=0，tan2x=-
，x∈[
，
]，所以x=
；
（2）由（1）可知：f(x)=
•
=cos2x+
sin2x=2sin（2x+
），所以函数的最大值为：2，此时2x+
=
+2kπ，k∈Z；
所以x=kπ+
，k∈Z；
（3）因为g(x)=f(x+
)=2sin（2x+
+
）=2cos2x，
因为g（-x）=2cos（-2x）=2cos2x=g（x），所以函数是偶函数．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
2sin2x-
| 2 |
| 3 |
| ||
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
（2）由（1）可知：f(x)=
| a |
| b |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
所以x=kπ+
| π |
| 6 |
（3）因为g(x)=f(x+
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
因为g（-x）=2cos（-2x）=2cos2x=g（x），所以函数是偶函数．
点评：本题是中档题，通过向量的数量积，考查函数的基本性质，最大值，奇偶性的判断，函数值的求法，考查计算能力，常考题型．
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