题目内容

已知
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，且f(x)=
a
•
b
-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）若x∈[0，
π
2
]，求函数f（x）的最大值与最小值．
分析：（1）由三角函数公式可得f(x)=
a
•
b
-1=2
3
sinxcosx+2cos2x-1=
3
sin2x+cos2x=2sin（2x+
π
6
）由此可求解，
（2）利用（1）的结论可知函数在给定区间[0，
π
2
]上的单调性，即可获得最大最小值．
解答：解：（1）因为
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，
所以f(x)=
a
•
b
-1=2
3
sinxcosx+2cos2x-1=
3
sin2x+cos2x=2sin（2x+
π
6
）．
所以f（x）的最小正周期为T=
2π
2
=π，由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈Z解得
kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，即单调递增区间为[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]k∈Z
（2）由（1）可知f（x）在区间[0，
π
6
]上单调递增，在[
π
6
，
π
2
]上单调递减，
故当x=
π
6
时，f（x）取到最大值f（
π
6
）=2；当x=
π
2
时，f（x）取到最大值f（
π
2
）=-1．
点评：本题为三角函数与向量的综合应用，准确记住公式是解决问题的关键，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，函数f(x)=
a
•
b

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[-
π
6
，
π
2
]时，求f（x）的值域．
已知
a
=(2sinx，cosx+sinx)，
b
=(cosx，cosx-sinx)，函数f(x)=
a
•
b
，
（1）求函数的解析式及函数的最小正周期；
（2）求函数f（x）在[0，
π
2
]上的值域．
已知
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(cosx，-2cosx)，若f（x）=
a
•
b
+1，求：
（1）f（x）的表达式及周期
（2）y=lg[f（x）]的单调递增区间．
已知
a
=(2sinx，
2
cos(x-
π
2
)+1)，
b
=(cosx，
2
cos(x-
π
2
)-1)，设f(x)=
a
•
b
．
（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且a=2，f（A）=1，b=
6
，求边c．

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