题目内容
【题目】如图,是边长为2的正方形,平面
平面
,且
,
是线段
的中点,过
作直线
,
是直线
上一动点.
(1)求证:;
(2)若直线上存在唯一一点
使得直线
与平面
垂直,求此时二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)先证EO⊥面ABCD,进而可得BC⊥面EOF,从而可证OF⊥BC;
(2)由(1)可得平面
,得到
、
、
两两垂直,可建立空间直角坐标系
,由条件得到
,转化为向量
,从而
,转化为关于
的方程有唯一实数解,得到
,
,又判断∠BFC为二面角B﹣OF﹣C的平面角,利用向量夹角公式可求二面角B﹣OF﹣C的余弦值.
(1)因为,
是
中点,故
,
又因为平面平面
,平面
平面
,
故平面
,所以
;
因为,
,所以
,
故平面
,
所以.
(2)设的中点为
,则有
,由(1),
平面
,
所以、
、
两两垂直.可如图建立空间直角坐标系
.
依题意设点的坐标为
,点
的坐标为
,又
,
,
所以,
,
由(1)知,故
与平面
垂直,等价于
,
故,从而
,即
,
直线上存在唯一一点
使得直线
与平面
垂直,即关于
的方程有唯一实数解.
所以,解得
,此时
.
故点的坐标为
,点
的坐标为
.
因为平面
,所以
且
,
所以即二面角
的平面角.
因为,
,
所以,
即若直线上存在唯一一点
使得直线
与平面
垂直时,
所以二面角的余弦值为
.
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