题目内容
【题目】已知函数.
(1)求的单调递增区间;
(2)若函数有两个极值点
且
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)时,增区间为
;
时,增区间为
;
时,增区间为
,
;(2)
.
【解析】
(1)求出,分三种情况讨论
的范围,在定义域内,令
求得
的范围,可得函数
增区间;(2)由(1)知,
且
,
,
恒成立,可化为
恒成立,利用导数求出函数
,
的最小值即可得结果.
(1)函数的定义域为
,
,
令,
,
若
时,
,
在
恒成立,函数
在
上单调递增.
若
,
,方程
,
两根为,
,
当时,
,
,
,
单调递增.
当时,
,
,
,
,
单调递增,
,
,
单调递增.
综上,时,函数
单调递增区间为
,
时,函数
单调递增区间为
,
时,函数
单调递增区间为
,
.
(2)由(1)知,存在两个极值点
时,
且
,
,则
,
,且
,
.
此时恒成立,可化为
恒成立,
设,
,
,
因为,所以
,
,所以
,故
在
单调递减,
,所以实数
的取值范围是
.
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练习册系列答案
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的一组数据,且作了一定的数据处理(如下表),得到了散点图(如下图).
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中.
(1)根据散点图判断,与
哪一个更适宜作烧水时间
关于开关旋钮旋转的弧度数
的回归方程类型?(不必说明理由)
(2)根据判断结果和表中数据,建立关于
的回归方程;
(3)若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量
成正比,那么
为多少时,烧开一壶水最省煤气?
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.