题目内容
【题目】已知椭圆:
(
)的左右顶点分别为
,
,点
在椭圆
上,且
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线不经过点
且与椭圆
交于
,
两点,若直线
与直线
的斜率之积为
,证明:直线
过顶点.
【答案】(1) .
(2)见解析.
【解析】分析:第一问利用三角形的面积求得所满足的关系,结合点在椭圆上,以及椭圆中
的关系,求得其值,得到椭圆的方程,第二问涉及直线与椭圆相交,需要设出直线的方程,先去验证直线的斜率是存在的,设出方程之后,与椭圆方程联立,消元,利用韦达定理得到其两根和与两根积,利用题中所给的斜率的关系,得出等量关系式,从而求得直线过定点.
详解:(1)由题意可设椭圆的半焦距为,
由题意得:
所以
所以椭圆的方程为:
(2)当直线
的斜率不存在时,可设其方程为
且
),
不妨设,
且
故把
代换化简得:
,
不合题意
设直线
的方程为
,
,
联立
,
由,
是上方程的两个根可知:
由,
化简整理得:
即
故或
(舍去,因为此时直线经过点
)
把代入
得
所以直线方程为(
),恒过点
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