题目内容
设椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| F1F2 |
| F2Q |
| 0 |
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线l：x-
| 3 |
（3）在（2）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
．
分析：（1）设Q（x0，0），由F2（c，0），A（0，b）结合向量条件及向量运算得出关于a，c的等式，从而求得椭圆的离心率即可；
（2）由（1）知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；
（3）由（Ⅱ）知直线l：y=k（x-1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得满足题意的点P且m的取值范围．
（2）由（1）知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；
（3）由（Ⅱ）知直线l：y=k（x-1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得满足题意的点P且m的取值范围．
解答：解：（1）设Q（x0，0），由F2（c，0），A（0，b）
知
=(-c，b)，
=(x0，-b)
∵
⊥
，∴-cx0-b2=0，x0=-
，
由于2
+
=
即F1为F2Q中点．
故-
+c=-2c∴b2=3c2=a2-c2，
故椭圆的离心率e=
，（3分）
（2）由（1）知
=
，得c=
a于是F2（
a，0）Q(-
a，0)，
△AQF的外接圆圆心为（-
a，0），半径r=
|FQ|=a
所以
=a，解得a=2，∴c=1，b=
，
所求椭圆方程为
+
=1，（6分）
（3）由（Ⅱ）知F2（1，0）l：y=k（x-1）
代入得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0
设M（x1，y1），N（x2，y2）
则x1+x2=
，y1+y2=k（x1+x2-2），（8分）
+
=(x1-m，y1)+(x2-m，y2)=（x1+x2-2m，y1+y2）
由于菱形对角线垂直，则(
+
)•
=0
故k（y1+y2）+x1+x2-2m=0
则k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0k2(
-2)+
-2m=0（10分）
由已知条件知k≠0且k∈R∴m=
=
∴0＜m＜
故存在满足题意的点P且m的取值范围是0＜m＜
．（12分）
知
| F2A |
| AQ |
∵
| F2A |
| AQ |
| b2 |
| c |
由于2
| F1F2 |
| F2Q |
| 0 |
故-
| b2 |
| c |
故椭圆的离心率e=
| 1 |
| 2 |
（2）由（1）知
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
△AQF的外接圆圆心为（-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
所以
|-
| ||
| 2 |
| 3 |
所求椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（3）由（Ⅱ）知F2（1，0）l：y=k（x-1）
|
代入得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0
设M（x1，y1），N（x2，y2）
则x1+x2=
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| PM |
| PN |
由于菱形对角线垂直，则(
| PM |
| PN |
| MN |
故k（y1+y2）+x1+x2-2m=0
则k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0k2(
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| 8k2 |
| 3+4k2 |
由已知条件知k≠0且k∈R∴m=
| k2 |
| 3+4k2 |
| 1 | ||
|
| 1 |
| 4 |
故存在满足题意的点P且m的取值范围是0＜m＜
| 1 |
| 4 |
点评：当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．
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