Question

3．已知函数f（x）=cosx，若f（x）=m在区间（0，3π）上恰有三个不同的实根，且三个实根从小到大依次成等比数列，则这三个实根之和为（　　）

• A． $\frac{9π}{2}$
• B． $\frac{13π}{4}$
• C． $\frac{7π}{3}$
• D． $\frac{14π}{3}$

Answer 1

分析 由方程可化为函数f（x）=cosx与函数y=m的图象在区间（0，3π）上有三个不同的交点，作函数图象可得x₁+x₂=2π，x₃=2π+x₁；从而解得．

解答 解：∵f（x）=m在区间（0，3π）上恰有三个不同的实根，
∴函数f（x）=cosx与函数y=m的图象在区间（0，3π）上有三个不同的交点，
作函数f（x）=cosx与函数y=m在（0，3π）上的图象如下，

结合图象可得，x₁+x₂=2π，x₃=2π+x₁；
又由x₁，x₂，x₃成等比数列知，x₂²=x₁x₃，
即（2π-x₁）²=x₁（2π+x₁），
故x₁=$\frac{2π}{3}$，
x₁+x₂+x₃=4π+x₁=4π+$\frac{2π}{3}$=$\frac{14π}{3}$；
故选D．

点评 本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用及等比数列的应用，属于中档题．