Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1： 的离心率为 ，抛物线C2：x2=4y的焦点F是C1的一个顶点．

（I）求椭圆C1的方程；
（II）过点F且斜率为k的直线l交椭圆C1于另一点D，交抛物线C2于A，B两点，线段DF的中点为M，直线OM交椭圆C1于P，Q两点，记直线OM的斜率为k'．
（i）求证：kk'=﹣ ；
（ii）△PDF的面积为S1 ， △QAB的面积为是S2 ， 若S1S2=λk2 ， 求实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C1： 的离心率为 ，
抛物线C2：x2=4y的焦点F是C1的一个顶点．
∴ ，解得a=2，c= ，
∴椭圆C1的方程为 ．
（Ⅱ）（i）证明：由题意设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0），设点D（x0 ， y0），
由 ，得（4k2+1）x2+8kx=0，
解得 ， ，∴D（ ， ），M（ ），
，∴kk′=﹣ ．
（ii）解：由（i）知D（ ， ），
又F（0，1），∴|DF|= = ，
由 ，得x2﹣4kx﹣4=0，
，
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则x1+x2=4k，
∴|AB|= ，
由 ，得（4k2+1）y2﹣1=0， ，
设P（x3 ， y3），Q（﹣x3 ， ﹣y3），
由题意得 ， ，
∴P（﹣ ），Q（ ，﹣ ），
∴点P到直线kx﹣y+1=0的距离为：
d1= = ，
点Q到直线kx﹣y+1=0的距离为：
d2= = ，
∴S1= |DF|d1= = ，
S2= = = ，
∴ = = ≤ = ，
当且仅当3k2=k2+1，即k= 时，取等号，
∴λ的最大值为 ，此时直线l的方程为y= ．
【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为 ，抛物线C2：x2=4y的焦点F是C1的一个顶点，列出方程组，求出a=2，b=1，由此能求出椭圆C1的方程．（Ⅱ）（i）由题意设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0），由 ，得（4k2+1）x2+8kx=0，由此求出D（ ， ），M（ ），由此能证明kk′=﹣ ．
（ii）由D（ ， ），F（0，1），得|DF|= ，由 ，得x2﹣4kx﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式求出|AB|=4（k2+1），由 ，得（4k2+1）y2﹣1=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，求出点P到直线kx﹣y+1=0的距离，点Q到直线kx﹣y+1=0的距离，由此能λ的最大值为 ，此时直线l的方程为y= ．