Question

【题目】在直角坐标系xOy中，曲线C1： （t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2 cosθ．
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，

∴x2+y2=2y．

同理由C3：ρ=2 cosθ．可得直角坐标方程： ，

联立 ，

解得 ， ，

∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），

（2）解：曲线C1： （t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），

∵A，B都在C1上，

∴A（2sinα，α），B ．

∴|AB|= =4 ，

当 时，|AB|取得最大值4

【解析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把 代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2 cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|= 即可得出．