题目内容
【题目】已知函数.若在定义域内存在,使得成立,则称为函数的局部对称点.
(1)若a,且a≠0,证明:函数有局部对称点;
(2)若函数在定义域内有局部对称点,求实数c的取值范围;
(3)若函数在R上有局部对称点,求实数m的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)(3)
【解析】
(1)若函数有局部对称点,则,即有解,即可求证;
(2)由题可得在内有解,即方程在区间上有解,则,设,利用导函数求得的范围,即可求得的范围;
(3)由题可得在上有解,即在上有解,设,则可变形为方程在区间内有解,进而求解即可.
(1)证明:由得,
代入得,
则得到关于x的方程,由于且,所以,
所以函数必有局部对称点
(2)解:由题,因为函数在定义域内有局部对称点
所以在内有解,即方程在区间上有解,
所以,
设,则,所以
令,则,
当时,,故函数在区间上单调递减,当时,,
故函数在区间上单调递增,
所以,
因为,,所以,所以,
所以
(3)解:由题,,
由于,所以,
所以(*)在R上有解,
令,则,
所以方程(*)变为在区间内有解,
需满足条件:
,即,
得
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