Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，（x∈R）
（1）当x∈[-

π

12

，

5π

12

]时，求函数f（x）的最小值和最大值；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=

3

，f（C）=0，若向量

m

=（1，sinA）与向量

n

=（2，sinB）共线，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，根据变量x的取值范围可求出最小值和最大值；
（2）根据C的范围和f（C）=0可求出角C的值，再根据两个向量共线的性质可得sinB-2sinA=0，再由正弦定理可得b=2a，最后再由余弦定理得到a与b的等式，解方程组可求出a，b的值．

解答：解：（1）函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
∵x∈[-

π

12

，

5π

12

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]则sin（2x-

π

6

）∈[-

3

2

，1]
∴函数f（x）的最小值为-

3

2

-1和最大值0；
（2）∵f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，即  sin（2C-

π

6

）=1，
又∵0＜C＜π，-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，∴2C-

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

．
∵向量

m

=（1，sinA）与

n

=（2，sinB）共线，∴sinB-2sinA=0．
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得 b=2a，①
∵c=

3

，由余弦定理得3=a²+b²-2abcos

π

3

，②
解方程组①②，得 a=1，b=2．

点评：本题主要考查了两角和与差的逆用，以及余弦定理的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．