题目内容
【题目】设函数f(x)=x2+aln(x+1).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数F(x)=f(x)+ln 有两个极值点x1 , x2且x1<x2 , 求证F(x2)>
.
【答案】
(1)解:函数f(x)的定义域为(﹣1,+∞),
=
,(x>﹣1),
令g(x)=2x2+2x+a,则△=4﹣8a.
①当△<0,即a> 时,g(x)>0,从而f′(x)>0,
故函数f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增;
②当△=0,即a= 时,g(x)≥0,此时f′(x)≥0,此时f′(x)在f′(x)=0的左右两侧不变号,
故函数f(x)在(﹣1,0)上单调递增;
③当△>0,即a< 时,g(x)=0的两个根为
,
,
当 ,即a≤0时,x1≤﹣1,当0<a<
时,x1>﹣1.
故当a≤0时,函数f(x)在(﹣1, )单调递减,在(
,+∞)单调递增;
当0<a< 时,函数f(x)在(﹣1,
),(
,+∞)单调递增,
在( ,
)单调递减.
(2)解:∵F(x)=f(x)+ln ,∴F′(x)=f′(x),
∴当函数F(x)有两个极值点时0<a< ,0<
<1,
故此时x2= ∈(﹣
,0),且g(x2)=0,即a=﹣(2
+2x2),
∴F(x2)= +aln(1+x2)+ln
= ﹣(
)ln(1+x2)+ln
,
设h(x)=x2﹣(2x2+2x)ln(1+x)+ln ,其中﹣
,
则h′(x)=2x﹣2(2x+1)ln(1+x)﹣2x=﹣2(2x+1)ln(1+x),
由于﹣ 时,h′(x)>0,
故函数h(x)在(﹣ ,0)上单调递增,
故h(x).h(﹣ )=
.
∴F(x2)=h(x2)> .
【解析】(1)由函数f(x)的定义域为(﹣1,+∞), =
,令g(x)=2x2+2x+a,则△=4﹣8a.由根的判断式进行分类讨论,能求出函数f(x)的单调区间.(2)由F′(x)=f′(x),知函数F(x)有两个极值点时,0<a<
,0<
<1,由此推导出x2=
∈(﹣
,0),且g(x2)=0,即a=﹣(2
+2x2),F(x2)=
﹣(
)ln(1+x2)+ln
,构造函数h(x)=x2﹣(2x2+2x)ln(1+x)+ln
,能够证明F(x2)>
.
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