Question

已知a＞0且a≠1，若函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[3，4]上是单调递减函数，则实数a的取值范围为（　　）

• A．(

  1

  3

  ，1)
• B．（1，+∞）
• C．[

  1

  8

  ，

  1

  3

  ]∪(1，+∞)
• D．[

  1

  8

  ，

  1

  4

  ]∪(1，+∞)

Answer 1

分析：令g（x）=ax²-x，则当a＞1时，g（x）在[3，4]上单调递减，且g（x）＞0，利用二次函数的性质求得实数a的取值范围．当0＜a＜1时，g（x）在[3，4]上单调递增，且g（x）＞0，再利用二次函数的性质求得实数a的取值范围，最后把这两个a的取值范围取并集，即得所求．

解答：解：令g（x）=ax²-x（a＞0，且a≠1），则当a＞1时，g（x）在[3，4]上单调递减，且g（x）＞0．
∴4≤

1

2a

，且 g（4）＞0．   解得 a无解．
则当0＜a＜1时，g（x）在[3，4]上单调递增，且g（x）＞0．
∴

1

2a

≤3，且 g（3）＞0． 解得 a＞

1

3

，∴1＞a＞

1

3

．
综上可得，实数a的取值范围为(

1

3

，1)，
故选A．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属中档题．