已知等比数列{an}的首项a1=2012.公比q=-12.数列{an}前n项和记为Sn.前n项积记为Π(n)．(Ⅰ)求数列{Sn}的最大项和最小项,|与|Π(n+1)|的大小.并求n为何值时.Π(n)取得最大值,(Ⅲ)证明{an}中的任意相邻三项按从小到大排列.总可以使其成等差数列.如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为d1.d2.d3.-dn.证明:数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

已知等比数列{a_n}的首项a₁=2012，公比q=-

1

2

，数列{a_n}前n项和记为S_n，前n项积记为Π（n）．
（Ⅰ）求数列{S_n}的最大项和最小项；
（Ⅱ）判断|Π（n）|与|Π（n+1）|的大小，并求n为何值时，Π（n）取得最大值；
（Ⅲ）证明{a_n}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为d₁，d₂，d₃，…d_n，证明：数列{d_n}为等比数列．

分析：（Ⅰ）由Sn=

a1[1-(-

1

2

)n]

1-(-

1

2

)

=

2

3

a1[1-(-

1

2

)n]，能求出数列{S_n}的最大项和最小项．
（Ⅱ）由|Π（n）|=|a₁a₂a₃…a_n|，知

|Π(n+1)|

|Π(n)|

=|an+1|=2012(

1

2

)n，由

2012

211

＜1＜

2012

210

，能推导出当n=12时，Π（n）最大．
（Ⅲ）|a_n|随n增大而减小，数列{a_n}的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增，由此能推导出数列{a_n}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，从而能够证明数列{d_n}是等比数列．

解答：解：（Ⅰ）Sn=

a1[1-(-

1

2

)n]

1-(-

1

2

)

=

2

3

a1[1-(-

1

2

)n]，
①当n是奇数时，Sn=

2

3

a1[1+(

1

2

)n]，单调递减，
∴S1＞S3＞S5＞…＞S2n-1＞

2

3

a1．
②当n是偶数时，Sn=

2

3

a1[1-(

1

2

)n]，单调递增，
∴S2＜S4＜S6＜…＜S2n＜

2

3

a1．
综上，当n=1时，S_n有最大值为S₁=2012；当n=2时，S_n有最小值为S₂=1006．…（4分）
（Ⅱ）∵|Π（n）|=|a₁a₂a₃…a_n|，
∴

|Π(n+1)|

|Π(n)|

=|an+1|=2012(

1

2

)n，
∵

2012

211

＜1＜

2012

210

，
∴当n≤10时，|Π（n+1）|＞|Π（n）|；
当n≥11时，|Π（n+1）|＜|Π（n）|，…（6分）
又Π（10）＜0，Π（11）＜0，Π（9）＞0，Π（12）＞0，
∴|Π（n）|的最大值是Π（9）和Π（12）中的较大者．
∵

Π(12)

Π(9)

=a10a11a12=a113=[2011(-

1

2

)10]3＞1，
∴Π（12）＞Π（9），
因此当n=12时，Π（n）最大．…（10分）
（Ⅲ）|a_n|随n增大而减小，数列{a_n}的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增．
①当n是奇数时，调整为a_n+1，a_n+2，a_n．
则an+1+an=a1(-

1

2

)n+a1(-

1

2

)n-1=

a1

2n

，2an+2=2a1(-

1

2

)n+1=

a1

2n

，
∴a_n+1+a_n=2a_n+2，a_n+1，a_n+2，a_n成等差数列； …（12分）
②当n是偶数时，调整为a_n，a_n+2，a_n+1；
则an+1+an=a1(-

1

2

)n+a1(-

1

2

)n-1=-

a1

2n

，2an+2=2a1(-

1

2

)n+1=-

a1

2n

，
∴a_n+1+a_n=2a_n+2，a_n，a_n+2，a_n+1成等差数列；
综上可知，数列{a_n}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列．（14分）
①n是奇数时，公差dn=an+2-an+1=a1[(-

1

2

)n+1-(-

1

2

)n]=

3a1

2n+1

；
②n是偶数时，公差dn=an+2-an=a1[(-

1

2

)n+1-(-

1

2

)n-1]=

3a1

2n+1

．
无论n是奇数还是偶数，都有dn=

3a1

2n+1

，则

dn

dn-1

=

1

2

，
因此，数列{d_n}是首项为

3

4

a1，公比为

1

2

的等比数列．…（16分）

点评：本题考查数列的最大项与最小项的求法，考查数列的最大值的求法，考查等比数列的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．

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