题目内容
已知定点M(0,2),N(-2,0),直线l:kx-y-2k+2=0(k为常数).
(1)若点M,N到直线l的距离相等,求实数k的值;
(2)对于l上任意一点P,∠MPN恒为锐角,求实数k的取值范围.
(1)若点M,N到直线l的距离相等,求实数k的值;
(2)对于l上任意一点P,∠MPN恒为锐角,求实数k的取值范围.
(1)k=1或k=
(2)k∈(-∞,-)∪(1,+∞)
(2)k∈(-∞,-)∪(1,+∞)
解:(1)∵点M、N到直线l的距离相等,
∴直线l平行于MN所在的直线或过MN的中点,
∴k=1或k=.
(2)设l上任意一点P(x0,kx0-2k+2).
若∠MPN恒为锐角,则·>0,
即(x0,kx0-2k)·(x0+2,kx0-2k+2)>0,
∴x02+2x0+(kx0-2k)2+2kx0-4k>0,
∴(1+k2)x02+(2k-4k2+2)x0+4k2-4k>0对x0∈R恒成立,
∴Δ=(2k-4k2+2)2-4(k2+1)(4k2-4k)<0,
即-7k2+6k+1<0,∴k>1或k<-,
即k∈(-∞,-)∪(1,+∞).
∴直线l平行于MN所在的直线或过MN的中点,
∴k=1或k=.
(2)设l上任意一点P(x0,kx0-2k+2).
若∠MPN恒为锐角,则·>0,
即(x0,kx0-2k)·(x0+2,kx0-2k+2)>0,
∴x02+2x0+(kx0-2k)2+2kx0-4k>0,
∴(1+k2)x02+(2k-4k2+2)x0+4k2-4k>0对x0∈R恒成立,
∴Δ=(2k-4k2+2)2-4(k2+1)(4k2-4k)<0,
即-7k2+6k+1<0,∴k>1或k<-,
即k∈(-∞,-)∪(1,+∞).
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