题目内容
【题目】 将1至这
个自然数随机填入n×n方格的
个方格中,每个方格恰填一个数(
).对于同行或同列的每一对数,都计算较大数与较小数的比值,在这
个比值中的最小值,称为这一填数法的“特征值”.
(1)若,请写出一种填数法,并计算此填数法的“特征值”;
(2)当时,请写出一种填数法,使得此填数法的“特征值”为
;
(3)求证:对任意一个填数法,其“特征值”不大于.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【解析】
(1)可设1在第一行第一列,同行或是同列的两个数的可能,可得特征值;
(2)写出n=3时的图标,由特征值的定义可得结果;
(3)设a,b利用分类讨论,分情况证明出结果.
解:(1)当时,如下表填数:
同行或同列的每一对数,计算较大数与较小数的比值分别为
2,,3,2,可得此填数法的“特征值”为
;
(2)当时,如下表填数:
同行或同列的每一对数,计算较大数与较小数的比值分别为
4,3,,5,9,
,
,
,
,
,
,
,8,3,
,
,
,
,
可得此填数法的“特征值”为;
(3)不妨设A为任意一个填数法,记此填数法的“特征值”为C(A),
考虑含n+1个元素的集合B={n2,n2﹣1,n2﹣2,…,n2﹣n},
易知其中必有至少两个数处于同一行,设为
也必有至少两个数处于同一列,设为.
①若
则有(因为
).
②若,即
,
则,
.
所以.
即不论何种情况,总有.

【题目】2016年时红军长征胜利80周年,某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答,宣传长征精神.首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动,其次在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星,每人获得一个纪念品,其数据表格如下:
(Ⅰ)求此活动中各公园幸运之星的人数;
(Ⅱ)从乙和丙公园的幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访,求这两人均来自乙公园的概率;
(Ⅲ)电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调查,统计结果如下(单位:人):
据此判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关.
附临界值表及公式: ,其中
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |