Question

二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a是正整数），c≥1，a+b+c≥1，方程ax²+bx+c=0有两个小于1的不等正根，则a的最小值为

 

．

Answer 1

分析：将二次函数f（x）设成两根式，根据条件建立关系式，将a分离出来，然后利用基本不等式求出最值即可．

解答：解：设f（x）=a（x-p）（x-q），其中p，q属于（0，1）且p不等于q．
由f（0）≥1及f（1）≥1，可得
apq≥1，a（1-p）（1-q）≥1，
两式相乘有a²p（1-p）q（1-q）≥1，
即a²≥

1

p(1-p)q(1-q)

，
又由基本不等式易知
p（1-p）q（1-q）≤

1

16

由于上式取等号当且仅当p=q=

1

2

与已知矛盾，故上式的等号取不到，故
p（1-p）q（1-q）＜

1

16

因此得到a²＞16即a＞4
而函数f（x）=5x²-5x+1满足题设的所有条件，因此a的最小值为5．

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及根的分别问题，属于基础题．