题目内容

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表．f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示．
x -1 0 2 4 5
f（x） 1 2 0 2 1
下列关于函数f（x）的命题：
①函数f（x）在[0，1]上是减函数；
②如果当x∈[-1，t]时，f（x）最大值是2，那么t的最大值为4；
③函数y=f（x）-a有4个零点，则1≤a＜2；
④已知（a，b）是y=
2012
f(x)
的一个单调递减区间，则b-a的最大值为2．
其中真命题的个数是（　　）
分析：由导数图象可知，函数的单调性，故可判断①；结合表格中几个特殊点的函数值，结合函数的单调性，分析t取不同值时，函数的最大值变化情况，可判断②；结合表格中几个特殊点的函数值，结合函数的单调性，分析函数的极值，分析可判断③；根据f（x）的单调性，分析出y=
2012
f(x)
的单调性，进而求出b-a的最大值．
解答：解：由导数图象可知，
当-1＜x＜0或1＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，
当0＜x＜1或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，所以①正确；
当x=0和x=4，函数取得最大值f（0）=2，f（4）=2，
当x∈[-1，t]时，f（x）最大值是2，那么t的最大值为5，故②不正确；
由f（-1）=f（5）=1，结合函数的单调性，
可得若y=f（x）-a有4个零点，则1≤a＜2，故③正确；
∵y=
2012
f(x)
的单调性与y=f（x）的单调性相反，
结合y=
2012
f(x)
的定义域为[-1，a）∪（a，2）∪（2，5]，其中a∈（0，1）
故y=
2012
f(x)
在（-1，0），（a，2），（2，4）上为减函数，
故（a，b）是y=
2012
f(x)
的一个单调递减区间，则b-a的最大值为2，故④正确
故四个命题中有3个为真命题
故选B
点评：本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为
1
2
的点P满足2
OP
=
OM
+
ON
（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：y1+y2为定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围．
下列说法正确的有（　　）个．
①已知函数f（x）在（a，b）内可导，若f（x）在（a，b）内单调递增，则对任意的?x∈（a，b），有f′（x）＞0．
②函数f（x）图象在点P处的切线存在，则函数f（x）在点P处的导数存在；反之若函数f（x）在点P处的导数存在，则函数f（x）图象在点P处的切线存在．
③因为3＞2，所以3+i＞2+i，其中i为虚数单位．
④定积分定义可以分为：分割、近似代替、求和、取极限四步，对求和In=
n
i=1
f(ξi)△x中ξi的选取是任意的，且In仅于n有关．
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是12，26．
已知函数f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直线y=m与两个相邻函数的交点为A，B，若m变化时，AB的长度是一个定值，则AB的值是（　　）
（Ⅰ）已知函数f（x）=x3-x，其图象记为曲线C．
（i）求函数f（x）的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点P2（x2，f（x2））处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积记为S1，S2．则
S1S2
为定值；
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明．
已知函数f（x）=x3-ax+b存在极值点．
（1）求a的取值范围；
（2）过曲线y=f（x）外的点P（1，0）作曲线y=f（x）的切线，所作切线恰有两条，切点分别为A、B．
（ⅰ）证明：a=b；
（ⅱ）请问△PAB的面积是否为定值？若是，求此定值；若不是求出面积的取值范围．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网