Question

【题目】如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB．

（1）求AD1与面BB1D1D所成角的正弦值；
（2）点E在侧棱AA1上，若二面角E﹣BD﹣C1的余弦值为 ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．

设AB=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），

B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），

A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2）．

设AD1与面BB1D1D所成角的大小为θ， ，

设平面BB1D1D的法向量为 =（x，y，z）， ， ，

则 =0， ，即x+y=0，z=0．

令x=1，则y=﹣1，所以n=（1，﹣1，0），

sinθ=|cos＜ ＞|= = ，

所以AD1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

（2）解：设E（1，0，λ），0≤λ≤2．

设平面EBD的法向量为 =（x1，y1，z1），平面BDC1的法向量为 =（x2，y2，z2）， ，

由 ， ，得x1+y1=0，x1+λz1=0，

令z1=1，则x1=﹣λ，y1=λ，n1=（﹣λ，λ，1）， ，

由 ， ，得x2+y2=0，y2+2z2=0，

令z2=1，则x2=2，y2=﹣2，n2=（2，﹣2，1），

cos＜ ＞= = ，

所以 ，得λ=1．

所以 = ．

【解析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求AD1与面BB1D1D所成角的正弦值；（2）求出平面的法向量，根据二面角与平面法向量之间的关系进行求解即可．
【考点精析】掌握空间角的异面直线所成的角是解答本题的根本，需要知道已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．