题目内容
【题目】如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB．
（1）求AD1与面BB1D1D所成角的正弦值；
（2）点E在侧棱AA1上，若二面角E﹣BD﹣C1的余弦值为 
，求 
的值．
【答案】
（1）解：以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．
设AB=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），
B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），
A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2）．
设AD1与面BB1D1D所成角的大小为θ， 
，
设平面BB1D1D的法向量为 
=（x，y，z）， 
， 
，
则 
=0， 
，即x+y=0，z=0．
令x=1，则y=﹣1，所以n=（1，﹣1，0），
sinθ=|cos＜ 
＞|= 
= 
，
所以AD1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
（2）解：设E（1，0，λ），0≤λ≤2．
设平面EBD的法向量为 
=（x1，y1，z1），平面BDC1的法向量为 
=（x2，y2，z2）， 
，
由 
， 
，得x1+y1=0，x1+λz1=0，
令z1=1，则x1=﹣λ，y1=λ，n1=（﹣λ，λ，1）， 
，
由 
， 
，得x2+y2=0，y2+2z2=0，
令z2=1，则x2=2，y2=﹣2，n2=（2，﹣2，1），
cos＜ 
＞= 
= 
，
所以 
，得λ=1．
所以 
= 
．
【解析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求AD1与面BB1D1D所成角的正弦值；（2）求出平面的法向量，根据二面角与平面法向量之间的关系进行求解即可．
【考点精析】掌握空间角的异面直线所成的角是解答本题的根本，需要知道已知
为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为
，则
．
