Question

【题目】如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，，∠BAD＝∠CDA＝90°，．

（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；

（2）求直线PB与平面PAD所成的角；

（3）在棱PC上是否存在一点E使得直线平面PAD，若存在求PE的长，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）； （3）存在为中点,即 满足条件.

【解析】

（1）先证平面；

（2）作出直线PB与平面PAD所成的角，再求出角的正切值，从而可得角；

（3）先假设存在，确定点的位置，再求出长度.

证明(1)因为∠BAD＝∠CDA＝90°，

所以,四边形为直角梯形,

又满足

又

又 ,

,

所以平面PAD⊥平面PBC.

(2)取CD的中点H，连接BH,PH,作 于，如图，

在四边形ABCD中，，∠BAD＝∠CDA＝90°，

所以为正方形，所以；

因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD 平面ABCD=CD，所以平面；

所以.

因为，所以；

在直角三角形中，，所以.

又，所以平面，所以到平面的距离等于；

设直线PB与平面PAD所成的角为，则，即直线PB与平面PAD所成的角为.

(3)存在为中点,即 满足条件,证明如下：取中点，连接.如图，

因为分别是的中点，所以且.

所以且，即为平行四边形，所以;

因为平面，平面，所以平面.此时.