Question

（2012•吉安县模拟）已知a，b都为正实数，且

1

a

+

1

b

=1，则

2+b

2ab

的最大值为

9

16

．

Answer 1

分析：由已知可得a=

b

b-1

，结合a＞0，b＞0可得b＞1，代入

2+b

2ab

=

2+b

2b• b b-1

=

(2+b)(b-1)

2b2

=

b2+b-2

2b2

=-(

1

b

)2+

1

2

•

1

b

+

1

2

，利用二次函数的性质可求

解答：解：∵

1

a

+

1

b

=1，
∴ab=a+b即a=

b

b-1

∵a＞0，b＞0
∴b＞1
则

2+b

2ab

=

2+b

2b• b b-1

=

(2+b)(b-1)

2b2

=

b2+b-2

2b2

=-(

1

b

)2+

1

2

•

1

b

+

1

2

=-(

1

b

-

1

4

)2+

9

16

≤

9

16

则

2+b

2ab

的最大值为

9

16

故答案为：

9

16

点评：本题主要考查了二次型函数值域的求解，解题中利用b表示a后要注意由a＞0，b＞0得到b＞1的范围不要漏掉