Question

【题目】已知椭圆的离心率为是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，且的周长是6.

（1）求椭圆的方程；

（2）设圆：，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于两点，当圆心在轴上移动且时，求的斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）.

【解析】

（1）由椭圆离心率得到的关系，再由的周长是，得的另一关系，联立求得的值，代入求得，则椭圆方程可求；（2）椭圆的上顶点为，设过点与圆相切的直线方程为，由圆心到切线距离等于半径得到关于切线斜率的方程，由根与系数关系得到，，再联立切线方程和椭圆方程，求得的坐标，同理求得坐标，利用斜率公式得到，然后由函数单调性求得的斜率的范围.

（1）由，可知，

因为的周长是6，所以，

所以，所求椭圆方程为；

（2）椭圆的上顶点为，设过点与圆相切的直线方程为，

由直线与相切可知，

∴，

由得，

∴，同理，

，

，

当时，为增函数，故的斜率的范围为.