题目内容

已知向量
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[0，
π
2
]．
（1）求
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（2）若f(x)=
a
•
b
-|
a
+
b
|sinx，试求f（x）的值域．
分析：（1）利用两个向量数量积公式求得
a
•
b
=cos2x，求出|
a
+
b
|2的值 可得|
a
+
b
|的值．
（2）利用二倍角公式及辅助角公式化简f（x）的解析式为
2
cos(2x+
π
4
)，再根据x∈[0，
π
2
]求出函数f（x）的值域．
解答：解：（1）
a
•
b
=cos
3x
2
cos
x
2
+sin
3x
2
sin
x
2
=cos（
3x
2
+
x
2
）=cos2x．
|
a
+
b
|2=
a
2+
b
2+2
a
•
b
=2+2cos2x．
由于x∈[0，
π
2
]，
∴|
a
+
b
|=
2+2cos2x
=
4cos2x
=2cosx．
（2）∵f(x)=cos2x-2cosxsinx=cos2x-sin2x=
2
cos(2x+
π
4
)…(9分)，
又∵x∈[0，
π
2
]，∴x+
π
4
∈[
π
4
，
3π
4
]，
∴
2
cos(2x+
π
4
) ∈[-
2
2
，
2
2
]，
故函数f（x）的值域是[-1，1]．…（12分）
点评：本题主要考查两个向量数量积公式的应用，求向量的模的方法，余弦函数的定义域和值域，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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