题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知
,
,且
,记动点
的轨迹为
.
(Ⅰ)求曲线方程;
(Ⅱ)过点的动直线
与曲线
相交
两点,试问在
轴上是否存在与点
不同的定点
,使得
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)由,
,且
,结合椭圆的定义即可求出曲线
方程;(Ⅱ)当直线
与
轴垂直时,求出
的坐标,然后再证明对任意的直线
,均有
,考虑直线斜率是否存在,然后联立直线与椭圆方程,结合韦达定理即可证明.
试题解析:(1)∵,
,且
∴动点的轨迹为椭圆,即椭圆方程为
.
(2)当直线与
轴垂直时,设直线
与椭圆相交于
,
两点.
则,
,由
,有
,解得
或
.
所以,若存在不同于点的定点
满足条件,则
点的坐标只可能为
.
下面证明:对任意的直线,均有
.
当直线的斜率不存在时,由上可知,结论成立.
当直线的斜率存在时,可设直线
的方程为
,
的坐标分别为
.
联立,得
.
其判别式,
∴,
∴.
∴,
∴
∴
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