Question

11．已知${a}^{-\frac{1}{2}}$+${a}^{\frac{1}{2}}$=3，求下列各式的值．
（1）a+a^-1；
（2）a^-2+a²；
（3）$\frac{{a}^{\frac{1}{2}}{+a}^{-\frac{1}{2}}}{{a}^{\frac{1}{2}}{-a}^{-\frac{1}{2}}}$．

Answer 1

分析 （1）利用a+a^-1=$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2即可得出．
（2）由（1）可得：a²+a^-2=（a+a^-1）²-2．
（3）由${a}^{-\frac{1}{2}}$+${a}^{\frac{1}{2}}$=3，可得${a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{-\frac{1}{2}}$=$±\sqrt{（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}-4}$．

解答 解：（1）∵${a}^{-\frac{1}{2}}$+${a}^{\frac{1}{2}}$=3，∴a+a^-1=$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2=7．
（2）由（1）可得：a²+a^-2=（a+a^-1）²-2=7²-2=47．
（3）∵${a}^{-\frac{1}{2}}$+${a}^{\frac{1}{2}}$=3，∴${a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{-\frac{1}{2}}$=$±\sqrt{（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}-4}$=$±\sqrt{5}$．
原式=$\frac{3}{±\sqrt{5}}$=$±\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了指数幂的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．