Question

7．已知命题p：指数函数f（x）=（a-1）^x是R上的减函数，q：函数g（x）=lg（ax-1）-lg（x-1）在（2，+∞）上单调递增．若命题p、q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的a的范围，根据p，q一真一假得到不等式组，解出即可．

解答 解：关于命题p：指数函数f（x）=（a-1）^x是R上的减函数，
则0＜a-1＜1，解得：1＜a＜2；
关于命题q：函数g（x）=lg（ax-1）-lg（x-1）在（2，+∞）上单调递增，
∴ax-1＞0，x-1＞0，a＞0，$\frac{1}{a}$≤2，∴a≥$\frac{1}{2}$，
g（x）=lg（ax-1）-lg（x-1）=lg$\frac{ax-1}{x-1}$，
令h（x）=$\frac{ax-1}{x-1}$，则h′（x）=$\frac{-a+1}{{（x-1）}^{2}}$≥0，解得：a≤1，
综上：$\frac{1}{2}$≤a≤1，
若命题p、q中有且只有一个是真命题，则p，q一真一假，
①p假q真时：$\left\{\begin{array}{l}{a≥2或a≤1}\\{\frac{1}{2}≤a≤1}\end{array}\right.$，∴$\frac{1}{2}$≤a≤1，
②p真q假时：$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜2}\\{a＞1或a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴1＜a＜2．

点评 本题考查了指数函数、对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道中档题．