题目内容
20．已知曲线C1：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cost}\\{y=3sint}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程ρ=$\frac{7}{cosθ-2sinθ}$．设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为（4$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），则PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值是$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．分析 利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$把曲线C2的极坐标方程ρ=$\frac{7}{cosθ-2sinθ}$，化为直角坐标方程．由于P为曲线C1上的点，可设P点$\left\{\begin{array}{l}{x=8cost}\\{y=3sint}\end{array}\right.$（t为参数），点Q的极坐标为（4$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），化为直角坐标Q（-4，4）．可得PQ中点M（4cost-2，$\frac{3sint+4}{2}$），再利用点到直线的距离公式、三角函数的单调性即可得出．
解答 解：曲线C1：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cost}\\{y=3sint}\end{array}\right.$（t为参数），化为$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
曲线C2的极坐标方程ρ=$\frac{7}{cosθ-2sinθ}$，化为x-2y-7=0．
∵P为曲线C1上的点，可设P点$\left\{\begin{array}{l}{x=8cost}\\{y=3sint}\end{array}\right.$（t为参数），
点Q的极坐标为（4$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），化为直角坐标Q（-4，4）．
则PQ中点M（4cost-2，$\frac{3sint+4}{2}$）到曲线C2上的点的距离d=$\frac{|4cost-2-（3sint+4）-7|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（t+α）+13|}{\sqrt{5}}$$≥\frac{13-5}{\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．当sin（t+α）=-1时取等号．
故答案为：$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | 2$\sqrt{5}$ | B． | 2$\sqrt{6}$ | C． | $\sqrt{34}$ | D． | 2$\sqrt{7}$ |
如图所示，已知A、B、C三点都在⊙O上，CD是⊙O的切线，直线AB与CD交于点D．