Question

已知函数f(x)=

1-ax

1+x

•e^x在x=0处的切线方程为x+y-1=0．
（1）求a的值；
（2）若f（x）＜1，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=

-ax2+(1-a)x-a

(1+x)2

ex，利用f′（0）=-1，能求出a的值．
（2）由f（x）=

1-x

1+x

ex(x≠-1) ，得f′(x)=

-x2-1

(1+x)2

ex，由f′（x）＜0，知函数f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上为减函数，由此能求出f（x）＜1时x的取值范围．

解答：解：（1）∵f(x)=

1-ax

1+x

x²，
∴f′(x)=[

-a(1+x)-(1-ax)

(1+x)2

+

1-ax

1+x

]ex
=

-ax2+(1-a)x-a

(1+x)2

ex，
由已知f′（0）=-1，∴-a=-1，得a=1．
（2）由（1）得f（x）=

1-x

1+x

ex(x≠-1) ，
则f′(x)=

-x2-1

(1+x)2

ex，
∴f′（x）＜0，因此函数f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上为减函数，
当x∈（-1，+∞）时，函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数，
又∵f（0）=1，
∴当x＞0时，f（x）＜f（0）=1，
当-1＜x＜0时，f（x）＞f（0）=1，
综上所述，满足f（x）＜1的x的取值范围为：x＜-1，或x＞0．

点评：本题考查导数在最大值、最小值中的应用，考查推理论证能力，考查计算推导能力．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．