题目内容

已知椭圆C的方程为+=1,试确定m的取值范围，使得对一直线y=4x+m,椭圆C上有不同两点P、Q关于该直线对称.

思路解析：本题解法很多，可以由Δ判定，也可以由交轨法，还可以考虑设而不求.

解法一：设出对称的两点的坐标及其所在的直线方程，再利用判别式Δ＞0及中心在对称轴上来求解.

设椭圆C上关于直线l对称的两点为P（x1,y1）、Q(x2,y2),其所在直线方程为y=-x+b,代入椭圆方程3x2+4y2=12,整理得13x2-8bx+16b2-48=0.

∵x1≠x2,∴Δ=-192(4b2-13)＞0,解得-＜b＜.                          ①

又∵=,=-,+b=b,

而点（,）在直线y=4x+m上，

∴m=-4·=-b.∴b=-m.                                     ②

将②代入①可解得-＜m＜,

即所求m的范围内（-,）.

解法二：根据中点M必在P、Q两点之间，建立不等式，将问题转化为求解直线y=4x+m和过P、Q两点所在的直线的交点问题.

设PQ中点坐标为M（x0,y0）.

由解法一知，2x0=x1+x2=,x1x2=,

由消去y0，把x0=b代入可得m=-b,∴x0=-m.

由于中点M的位置（介于P、Q）之间必有不等关系（x1-x0）(x2-x0)＜0,由此可得-＜m＜.

经验证，当-＜m＜时，

-＜b＜.

适合条件的点P、Q存在.

∴-＜m＜.

解法三：联想与弦的中点有关，利用“设而不求”法，可转化为利用均值不等式求出m的范围.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),

若P、Q关于直线l:y=4x+m对称，当且仅当下列条件组成立.

（1）-（2）并把（3）代入,得y1+y2=3(x1+x2).                                              （5）

把（5）代入（4）,得x1+x2=-2m.                                                            （6）

把（6）代入（5）,得y1+y2=-6m.                                                             （7）

①+②,得3（x12+x22）+4(y12+y22)=24.                                       （8）

由题意x1≠x2,y1≠y2,根据均值不等式有

x12+x22＞,y12+y22＞.

∴3(x12+x22)+4(y12+y22)＞ (x1+x2)2+2(y1+y2)2.                 （9）

把（6）（7）（8）代入（9），解得-＜m＜,

即m∈(-,).

解法四：C上存在不同的两点关于直线l对称，等价于存在C的弦被l垂直平分，且垂足必在椭圆C的内部，因此，这类问题可转化为利用交点在曲线C内部建立不等式.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M（x0,y0），代入椭圆方程有

3x12+4y12=12,           ①       3x22+4y22=12,           ②

①-②得=-=-=-.                    ③

又y0=4x0+m,                                                                 ④

由③④解得

∵M(-m,-3m)在椭圆的内部，

∴3（-m）2+4(-3m)2＜12,解得-＜m＜.

即m∈(-,).

解法五：利用C上存在不同的两点P、Q关于直线l对称，则线段PQ中点必在l上，也必在椭圆C的斜率为-的平行弦的中点轨迹上，把问题整体转化为求椭圆C的斜率为-的平行弦中点的轨迹与直线l交点在椭圆C内部时的参数的取值范围问题.

设A(x1,y1)、B(x2,y2)是椭圆上的点，且kAB=-,M(x,y)是AB的中点，则有

（1）-（2）,得3（x1-x2）(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0.

∴3x+4y=0,即3x+4y·(-)=0,∴y=3x.

∴椭圆C的斜率为-的平行弦中点轨迹是y=3x在椭圆C内的部分.

由得交点（-m,-3m）.

∵交点在椭圆C内，∴3（-m）2+4(-3m)2＜12.

解得-＜m＜.


练习册系列答案
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x2
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已知椭圆C的方程为
x2
a2
+ 
y2
b2
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2
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已知椭圆C的方程为
x 2
4
+
y2
3
=1，过C的右焦点F的直线与C相交于A、B两点，向量
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-
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共线，则直线AB的方程是（　　）

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