题目内容

【题目】已知函数

(1)若函数的图像在公共点P处有相同的切线,求实数m的值和P的坐标;

(2)若函数的图像有两个不同的交点M、N,求实数m的取值范围;

(3)在(2)的条件下,过线段MN的中点作x轴的垂线分别与的图像和的图象交于S、T点,以S点为切点作以T为切点作的切线,是否存在实数m,使得?如果存在,求出m的值;如果不存在,请说明理由。

【答案】(1);(2);(3)不存在,理由见解析.

【解析】

(1)设两图象公共点P(x0,y0),P的坐标满足f(x)和g(x)解析式得到关系式①,又在点P处有共同的切线得到关系式②,②和①联立求解即可.(2)有两个交点转为有两个解,利用变量分求解即可;(3)利用反证法即可得到证明.

解:(1)设函数

则有

又在点P处有共同的切线,

②代入①,得

所以,函数最多只有1个零点,观察得 此时,点P(1,0).

(2)有两个交点即方程有两个解,

在(0,+∞)上有两个解.

设h(x)= ,∴, ∴x=1

易知x=1为极大值点,且h(x)>0,且以x轴为渐近线

∴0<m+1<1,∴

另解:根据(1)知,当时,两条曲线切于点P(1,0),

此时,变化的y=g(x)图象对称轴为

是固定不变的,如果继续让对称轴向右移动,

解得 两条曲线有两个不同的交点,当时,开口向下,只有一个交点,显然不合题意,所以,有

(3)假设存在这样的m,不妨设 以S为切线的切线l1的斜率,以T为切点的切线l2的斜率如果存在m,使得

而且有如果将③的两边同乘以

,

,④

,设,则

∴④与⑤矛盾所以,不存在实数

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