题目内容
【题目】已知函数
(1)若函数的图像在公共点P处有相同的切线,求实数m的值和P的坐标;
(2)若函数的图像有两个不同的交点M、N,求实数m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,过线段MN的中点作x轴的垂线分别与的图像和
的图象交于S、T点,以S点为切点作
以T为切点作
的切线
,是否存在实数m,使得
?如果存在,求出m的值;如果不存在,请说明理由。
【答案】(1);(2)
;(3)不存在,理由见解析.
【解析】
(1)设两图象公共点P(x0,y0),P的坐标满足f(x)和g(x)解析式得到关系式①,又在点P处有共同的切线得到关系式②,②和①联立求解即可.(2)有两个交点转为
有两个解,利用变量分求解即可;(3)利用反证法即可得到证明.
解:(1)设函数
则有 ①
又在点P处有共同的切线,
②
②代入①,得 设
所以,函数最多只有1个零点,观察得
此时,点P(1,0).
(2)有两个交点即方程有两个解,
即在(0,+∞)上有两个解.
设h(x)= ,∴
, ∴x=1
易知x=1为极大值点,且h(x)>0,且以x轴为渐近线
∴0<m+1<1,∴
另解:根据(1)知,当时,两条曲线切于点P(1,0),
此时,变化的y=g(x)图象对称轴为
而是固定不变的,如果继续让对称轴向右移动,
即 解得
两条曲线有两个不同的交点,当
时,开口向下,只有一个交点,显然不合题意,所以,有
(3)假设存在这样的m,不妨设
以S为切线的切线l1的斜率,
以T为切点的切线l2的斜率
如果存在m,使得
即 ③
而且有如果将③的两边同乘以
得
,即
,④
即,设
,则
,
令,则
⑤
∴④与⑤矛盾,所以,不存在实数

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