题目内容
(本小题满分12分)如图所示多面体中,⊥平面,为平行四边形,分别为的中点,,,.
(1)求证:∥平面;
(2)若∠=90°,求证;
(3)若∠=120°,求该多面体的体积.
(1)求证:∥平面;
(2)若∠=90°,求证;
(3)若∠=120°,求该多面体的体积.
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)该五面体的体积为 。
(Ⅰ)取PC的中点为O,连FO,DO,可证FO∥ED,且FO=ED,所以四边形EFOD是平行四边形,从而可得EF∥DO,利用线面平行的判定,可得EF∥平面PDC;
(Ⅱ)先证明PD⊥平面ABCD,再证明BE⊥DP;
(Ⅲ)连接AC,由ABCD为平行四边形可知△ABC与△ADC面积相等,所以三棱锥P-ADC与三棱锥P-ABC体积相等,即五面体的体积为三棱锥P-ADC体积的二倍.
(Ⅰ)取PC的中点为O,连FO,DO,∵F,O分别为BP,PC的中点,
∴∥BC,且,又ABCD为平行四边形,∥BC,且,
∴∥ED,且
∴四边形EFOD是平行四边形 --------------------------------2分
即EF∥DO 又EF平面PDC ∴EF∥平面PDC. ---------------------- 4分
(Ⅱ)若∠CDP=90°,则PD⊥DC,又AD⊥平面PDC ∴AD⊥DP,
∴PD⊥平面ABCD, ------------- 6分
∵BE平面ABCD,∴BE⊥DP ------------ 8分
(Ⅲ)连结AC,由ABCD为平行四边形可知与面积相等,
所以三棱锥与三棱锥体积相等,
即五面体的体积为三棱锥体积的二倍.
∵AD⊥平面PDC,∴AD⊥DP,由AD=3,AP=5,可得DP=4又∠CDP=120°PC=2,
由余弦定理并整理得, 解得DC=2 ------------------- 10分
∴三棱锥的体积
∴该五面体的体积为 -------------------- 12分
(Ⅱ)先证明PD⊥平面ABCD,再证明BE⊥DP;
(Ⅲ)连接AC,由ABCD为平行四边形可知△ABC与△ADC面积相等,所以三棱锥P-ADC与三棱锥P-ABC体积相等,即五面体的体积为三棱锥P-ADC体积的二倍.
(Ⅰ)取PC的中点为O,连FO,DO,∵F,O分别为BP,PC的中点,
∴∥BC,且,又ABCD为平行四边形,∥BC,且,
∴∥ED,且
∴四边形EFOD是平行四边形 --------------------------------2分
即EF∥DO 又EF平面PDC ∴EF∥平面PDC. ---------------------- 4分
(Ⅱ)若∠CDP=90°,则PD⊥DC,又AD⊥平面PDC ∴AD⊥DP,
∴PD⊥平面ABCD, ------------- 6分
∵BE平面ABCD,∴BE⊥DP ------------ 8分
(Ⅲ)连结AC,由ABCD为平行四边形可知与面积相等,
所以三棱锥与三棱锥体积相等,
即五面体的体积为三棱锥体积的二倍.
∵AD⊥平面PDC,∴AD⊥DP,由AD=3,AP=5,可得DP=4又∠CDP=120°PC=2,
由余弦定理并整理得, 解得DC=2 ------------------- 10分
∴三棱锥的体积
∴该五面体的体积为 -------------------- 12分
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