题目内容

18.已知函数y=2sin(ωx+φ)在区间[0,$\frac{4}{3}$π]上单调递增,且f($\frac{π}{3}$)=0,f($\frac{4}{3}$π)=2,则函数的最小正周期为(  )
A.$\frac{π}{2}$B.πC.D.

分析 由条件可得$\frac{π}{3}$•ω+φ=0,ω•$\frac{4π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$.由此求得ω、φ的值,可得函数f(x)的解析式,从而求得函数的最小正周期.

解答 解:由函数y=2sin(ωx+φ)在区间[0,$\frac{4}{3}$π]上单调递增,可得φ≥-$\frac{π}{2}$,ω•$\frac{4π}{3}$+φ≤$\frac{π}{2}$.
又 f($\frac{π}{3}$)=0,f($\frac{4}{3}$π)=2,
可得 f($\frac{π}{3}$)=0,f($\frac{4}{3}$π)=2,可得sin($\frac{π}{3}$•ω+φ)=0,sin($\frac{4π}{3}$•ω+φ)=1,
∴$\frac{π}{3}$•ω+φ=0,ω•$\frac{4π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$.
求得ω=$\frac{1}{2}$,φ=-$\frac{π}{6}$,函数y=2sin($\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$),故函数的最小正周期为$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π,
故选:D.

点评 本题主要考查正弦函数的单调性、周期性,由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,属于中档题.

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