Question

如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，AB=2，BD=

2

，沿BD将△BCD折起，使二面角A-BD-C为锐二面角，设C在平面ABD上的射影为O，若AD⊥BC
（1）求二面角A-BD-C的大小．
（2）求AC与平面COD所成角的正切值
（3）在线段BC上是否存在一点P，使得PD∥面AOC，若存在，求出P点位置并证明；若不存在，请说明理由

Answer 1

分析：（1）利用三垂线定定理和 BD⊥CD，OC⊥平面ODBA，可得BD⊥OD．即可得出∠CDO即为二面角A-BD-C的平面角．连接OB，利用CO⊥平面ABD，AD⊥BC，可得AD⊥OB，进而得到∠OBD=∠DAB，于是Rt△ABD∽Rt△BDO，利用其性质可得OD=1，在Rt△COD中，利用边角关系即可得出∠CDO．
（2）利用CO⊥面ABD，可得面COD⊥面ABD．过A作AM⊥DO交DO延长线于M点，连CM，则AM⊥面COD．即可得出∠ACM即为AC与平面COD所成角．
在△CMD中，利用等腰三角形的性质可得CM．AM=BD=

2

．即可得出
（3）取BC的中点P，AC的中点E，连接PD，PE，OE．利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理即可得出．

解答：解：（1）∵BD⊥CD，OC⊥平面ODBA，∴BD⊥OD．
∴∠CDO即为二面角A-BD-C的平面角．
连接OB，∵CO⊥平面ABD，AD⊥BC，
∴AD⊥平面BOC，∴AD⊥OB，
∴∠OBD+∠ADB=90°，
故∠OBD=∠DAB，∴Rt△ABD∽Rt△BDO，
∴

OD

BD

=

BD

AB

，∴OD=

BD2

AB

=

( 2 )2

2

=1，
在Rt△COD中，cos∠CDO=

OD

CD

=

1

2

，得∠CDO=60°．
（2）∵CO⊥面ABD，∴面COD⊥面ABD．
过A作AM⊥DO交DO延长线于M点，连CM，则AM⊥面COD．
∴∠ACM即为AC与平面COD所成角．
在△CMD中，CO⊥DM，OM=OD=1，∴CM=CD=2．
又AM=BD=

2

∴tan∠ACM=

AM

CM

=

2

2

，即AC与平面COD所成角的正切值为

2

2

．
（3）取BC的中点P，AC的中点E，连接PD，PE，OE
∵PE是△ABC的中位线，∴PE∥AB，PE=

1

2

AB=1，又OD∥AB，OD=1
∴PE∥OD，PE=OD
∴四边形PEOD为平行四边形，∴PD∥OE，又OE?面AOC，PD?面AOC，
∴PD∥面AOC
即存在BC的中点P，满足PD∥面AOC

点评：本题综合考查了线面平行与垂直的判定定理与性质定理、空间角、三垂线定理、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了空间想象能力、计算能力和推理能力．