Question

在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF=

1

2

BC．
（Ⅰ）证明：FO∥平面CDE；
（Ⅱ）设BC=2

3

，CD=2，OE=

3

，求EC与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证FO∥平面CDE，只需通过平行四边形来证FO∥EM即可．
（Ⅱ）由EG⊥平面ABCD，得到∠EGC为EC与底面ABCD所成角，△EOM为正三角形及点E到平面ABCD的距离为由sin∠ECG=

EG

EC

=

3

4

求解．

解答：解：（Ⅰ）证明：取CD中点M，连接OM．（1分）
在矩形ABCD中，OM

∥ .

.

1

2

BC，又EF

∥ .

.

1

2

BC，则EF

∥ .

.

OM，（3分）
连接EM，于是四边形EFOM为平行四边形．
∴FO∥EM（5分）
又∵FO?平面CDE，且EM?平面CDE，
∴FO∥平面CDE（6分）
（Ⅱ）连接FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，
CM=DM，EM⊥CD且EM=

3

，又EF=

1

2

BC=

3

．
因此平行四边形EFOM为菱形，（8分）
过E作EG⊥OM于G
∵CD⊥EM，CD⊥OM，
∴CD⊥平面EOM，
∴CD⊥EG
因此EG⊥平面ABCD
所以∠EGC为EC与底面ABCD所成角（10分）
在△EOM中OM=ME=OE=

3

，则△EOM为正三角形．
∴点E到平面ABCD的距离为EG=

3

2

，（12分）
所以sin∠ECG=

EG

EC

=

3

4

即EC与平面CDF所成角的正弦值为

3

4

．（14分）

点评：本题考查了用平行四边形实现平行关系的转化，线面平行的判断定理，线线垂直与面面垂直关系的关系及线面角的求法，考查很全面．