Question

【题目】已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0（其中f′（x）为f（x）的导函数），则f（x）＞0的解集为（ ）

A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）

C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）

Answer 1

【答案】C

【解析】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）

令g（x）=xf（x），

∴g（﹣x）=g（x）是定义在R上的偶函数，

又∵f（2）=0，

∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，

∴g（2）=g（﹣2）=0

又∵当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，

即当x＞0时，g′（x）＞0，

即g（x）在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）是减函数，

∴当x＞0时，f（x）＞0，即g（x）＞g（2），解得：x＞2

∴当x＜0时，f（x）＞0，即g（x）＜g（﹣2），解得：﹣2＜x＜0，

∴不等式xf（x）＜0的解集为：（﹣2，0）∪（2，+∞），

故（﹣2，0）∪（2，+∞）

故选：C．