题目内容
如图,已知正方形ABCD的边长为1,FD⊥平面ABCD,EB⊥平面ABCD,FD=BE=1,M为BC边上的动点.试探究点M的位置,使F—AE—M为直二面角
.
当M在BC的中点时, 平面AME⊥平面AEF。
解析试题分析:本小题适合采用空间向量法求解,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DF所在直线为x、y、z轴,建立空间直角坐标D-xyz,然后求出相关点的坐标,设M(λ,1,0),再设二面角F—AE—M的两个面的法向量,根据法向量垂直可得到关于λ的方程,从而求出λ的值,确定出点M的位置.
以D为坐标原点,分别以DA、DC、DF所在直线为x、y、z轴,建立空间直角坐标D-xyz,
依题意,得D(0,0,0),A(1,0,0),F(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),E(1,1,1),
设M(λ,1,0),平面AEF的法向量为=(x1,y1,z1),平面AME的法向量为
=(x2,y2,z2)
∵=(0,1,1),=(-1,0,1), ∴ ∴
取z1=1,得x1=1,y1=-1 ∴=(1,-1,0)
又=(λ-1,1,0) ,=(0,1,1),
∴ ∴
取x2=1得y2=1-λ,z2=λ-1 ∴=(1,1-λ,λ-1)
若平面AME⊥平面AEF,则⊥ ∴=0,
∴1-(1-λ)+(λ-1)=0,解得λ=,
此时M为BC的中点.
所以当M在BC的中点时, 平面AME⊥平面AEF. ……………12分.
考点:空间向量法研究二面角.
点评:利用空间向量法的优点是把几何证明转化为数值运算,解题的关键是建立一个恰当的坐标系,另外对相关点的坐标一定要认真仔细求对,否则会出现错误,问题无法进行.
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