题目内容
【题目】已知函数f(x)=x2+mx+n有两个零点﹣1与3.
(1)求出函数f(x)的解析式,并指出函数f(x)的单调递增区间;
(2)若g(x)=f(|x|)在x1 , x2∈[t,t+1]是增函数,求实数t的取值范围.
【答案】
(1)解:函数f(x)=x2+mx+n有两个零点﹣1与3,由韦达定理,可得:m=﹣2,n=﹣3,
故得函数f(x)的解析式f(x)=x2﹣2x﹣3,
解析式化简得f(x)=(x﹣1)2﹣4.
对称轴x=1,
∴f(x)的增区为(1,+∞)
(2)解:∵g(x)=f(|x|),由(1)得f(x)=x2﹣2x﹣3
∴g(x)=x2﹣2|x|﹣3
画g(x)的图象如下:
由图象可知:[﹣1,0]和[1,+∞)是单调递增区间;
∵函数g(x)要使[t,t+1]是增函数,
由图观察可得:t=﹣1或t≥1.
故得实数t的取值范围是{t|t=﹣1或t≥1}.
【解析】(1)函数有两个零点﹣1与3,由韦达定理可求解m,n的值,可得函数f(x)的解析式,利用二次函数的性质可得单调性.(2)求出g(x)的解析式,画出图形,数形结合可求得t的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法,需要了解单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较才能得出正确答案.

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