Question

（2012•汕头一模）已知向量

m

=(-2sin(π-x)，cosx)，

n

=(

3

cosx，2sin(

π

2

-x))，函数f(x)=1-

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的单调递增区间；
（3）说明f（x）的图象可以由g（x）=sinx的图象经过怎样的变换而得到．

Answer 1

分析：（1）直接利用向量的数量积，通过二倍角公式与两角差的正弦函数，化简函数我一个角的一个三角函数的形式，即可求函数f（x）的解析式；
（2）利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间与x∈[0，π]取交集，即可求f（x）的单调递增区间；
法二通过x的范围，求出2x-

π

6

的范围，然后利用函数的最值时的2x-

π

6

的值，即可得到单调增区间．
（3）利用左加右减，与伸缩变换的原则，直接说明f（x）的图象可以由g（x）=sinx的图象经过变换而得到．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=-2sin(π-x)

3

cosx+2cosxsin(

π

2

-x)
=-2

3

sinxcosx+2cos2x=-

3

sin2x+cos2x+1      2分
∴f（x）=1-

m

•

n

=

3

sin2x-cos2x，…（3分）
∴f（x）=2sin(2x-

π

6

)．…（4分）
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ

(k∈Z)

，
解得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ

(k∈Z)

，…（6分）
∵取k=0和1且x∈[0，π]，得0≤x≤

π

3

和

5π

6

≤x≤π，
∴f（x）的单调递增区间为[0，

π

3

]和[

5π

6

，π]．…（8分）
法二：∵x∈[0，π]，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

11π

6

，
∴由-

π

6

≤2x-

π

6

≤

π

2

和

3π

2

≤2x-

π

6

≤

11π

6

，…（6分）
解得0≤x≤

π

3

和

5π

6

≤x≤π，
∴f（x）的单调递增区间为[0，

π

3

]和[

5π

6

，π]．…（8分）
（3）g（x）=sinx的图象可以经过下面三步变换得到f（x）=2sin(2x-

π

6

)的图象：g（x）=sinx的图象向右平移

π

6

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变），最后把所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到f（x）=2sin(2x-

π

6

)的图象．…（14分）（每一步变换2分）

点评：本题借助向量的数量积的化简，求解函数的解析式，考查三角函数的基本性质，函数的图象的变换．