Question

已知函数y=log₂[（p-1）x²+2px+3p-2]
（1）若函数的定义域为R，求实数p的取值范围，
（2）若函数的值域为R，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数的定义域为R等价于真数大于0恒成立；解二次型不等式恒成立结合二次函数的图象通过对二次项系数及判别式分类讨论求出p的范围．
（2）将函数的值域为R转化为真数能取所有的正实数，通过对二次项系数的讨论及判别式，求出a的范围．

解答：解：（1）∵函数的定义域为R
∴（p-1）x²+2px+3p-2＞0①p=1时，f（x）=log₂（2x+1）不合题意，舍去（2分）
②

p＞1 △＜0

⇒

p＞1 p＞2或 p＜ 1 2

⇒p＞2．（5分）
③若p＜1，不合题意，舍去（6分）
综上：p的取值范围是（2，+∞）（7分）
（2）
①p=1时，f（x）=log₂（2x+1）∈R符合题意（9分）
②

p＞1 △≥0

⇒

p＞1 1 2 ≤ p≤2

⇒1＜p≤2．（12分）
③若p＜1，不合题意，舍去（13分）
综上：p的取值范围是[1，2]（14分）

点评：本题考查对数函数的定义域为R与值域为R的区别；
解决二次函数问题常画出二次函数的图象结合图象写出需满足的条件．