Question

已知函数y=log2(x2-2)的定义域是[a，b]，值域是[1，log₂14]，求实数a，b的值．

Answer 1

分析：易求函数的定义域，可知函数的单调性，分①a＜b＜0，②a＜0＜b，且|a|＞|b|，③a＜0＜b，且|a|＜|b|，④0＜a＜b四种情况进行讨论，根据函数的单调性可求得函数的最值，分别令其等于1，log₂14可求得a，b的值．

解答：解：要使函数y=log2(x2-2)有意义，须满足x²-2＞0，解得x∈（-∞，-

2

）∪（

2

，+∞），
可知y=log2(x2-2)在（-∞，-

2

）上递减，在（

2

，+∞）上递增，
∵函数的值域为[1，log₂14]，
∴①当a＜b＜0时，log2(a2-2)=log₂14，log2(b2-2)=1，解得：a=-4，b=-2；
②当a＜0＜b，且|a|＞|b|时，log2(a2-2)=log₂14，log2(b2-2)=1，解得：a=-4，b=2；
③当a＜0＜b，且|a|＜|b|时，log2(a2-2)=1，log2(b2-2)=log₂14，解得a=-2，b=4；
④当0＜a＜b时，log2(a2-2)=1，log2(b2-2)=log₂14，解得：a=2，b=4．

点评：本题考查函数的定义域、值域，考查对数函数的单调性，考查分类讨论思想．