Question

20．奇函数f（x）在（0，+∞）上满足：任意x₁＜x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，且f（2）=0，则不等式 $\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0的解集为（　　）

• A． （-2，0）∪（0，2）
• B． （-∞，-2）∪（0，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 由函数f（x）在（0，+∞）上满足：任意x₁＜x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；结合f（2）=0，函数f（x）为奇函数，可得函数的图象和性质，进而得到不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0的解集．

解答 解：∵函数f（x）在（0，+∞）上满足：任意x₁＜x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
又由f（2）=0，函数f（x）为奇函数，
故函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，且f（-2）=0，
故当x∈（-∞，-2）∪（0，2）时，f（x）＜0，
当x∈（-2，0）∪（2，+∞）时，f（x）＞0，
∵$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$=$\frac{2f（x）}{x}$＜0，
故x∈（-2，0）∪（0，2），
故选：D．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．