题目内容
已知函数f(x)=e|lnx|+a|x-1|(a为实数)(I)若a=1,判断函数f(x)在区间[1,+∞)上的单调性(不必证明);
(II)若对于任意的x∈(0,1),总有f(x)的函数值不小于1成立,求a的取值范围.
【答案】分析:(I)a=1时,f(x)=elnx+x-1=2x-1,故易知f(x)在区间[1,+∞)上是增函数;
(II)要使对于任意的x∈(0,1),f(x)的函数值不小于1成立,即使(x∈(0,1))恒成立,利用分离参数法可求.
解答:解:(I)当x≥1时,f(x)=elnx+x-1=2x-1,∴f(x)在区间[1,+∞)上是增函数;
(II)当0<x<1时,由得
∵x∈(0,1),∴1-x>0,∴在x∈(0,1)上恒成立而,
∴a≥-1,即a的取值范围为[-1,+∞)
点评:此题考查学生单调性的判断,考查函数的恒成立问题处理策略,是一道中档题.
(II)要使对于任意的x∈(0,1),f(x)的函数值不小于1成立,即使(x∈(0,1))恒成立,利用分离参数法可求.
解答:解:(I)当x≥1时,f(x)=elnx+x-1=2x-1,∴f(x)在区间[1,+∞)上是增函数;
(II)当0<x<1时,由得
∵x∈(0,1),∴1-x>0,∴在x∈(0,1)上恒成立而,
∴a≥-1,即a的取值范围为[-1,+∞)
点评:此题考查学生单调性的判断,考查函数的恒成立问题处理策略,是一道中档题.
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